谷山－志村定理，即Taniyama-Shimura定理，确立了椭圆曲线（代数几何中的对象）和模形式（数论中某种周期性全纯函数）之间的重要联系。该定理的名字源自谷山－志村猜想，定理的证明是由安德鲁·怀尔斯、ChristopheBreuil、BrianConrad、FredDiamond和理查·泰勒共同完成的。
谷山-志村猜想是由日本数学家谷山丰提出并由志村五郎完善的，该猜想指出有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个猜想带有悲伤色彩，因为谷山丰将模形式和椭圆曲线方程联系起来的天才思想在当时没有得到重视，他在31岁的黄金年龄自杀。受谷山丰影响深远的志村五郎继续了他的工作。当猜想最终被证明时，志村五郎平静地表示这是对的。尽管只有本科学历，志村五郎却被誉为“20世纪数学界最重要的人物”。正是在一代代人的接力努力下，数学的大厦才变得金碧辉煌。
2019年5月3日，日本数学家志村五郎去世，享年89岁。志村五郎与谷山丰一起提出了“谷山-志村猜想”，该猜想是著名的费马大定理的突破口。最终，通过证明谷山-志村猜想，沉睡3个多世纪的费马大定理宣告破解。
基本介绍
若是一个质数而是一个Q（有理数域）上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义的方程模；除了有限个值，我们会得到有个元素的有限域F上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列
这是椭圆曲线的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做。谷山-志村定说:
"所有Q上的椭圆曲线是模的"。
该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想朗兰兹纲领联系了起来，并是关键的组成部分。猜想由安德烈·韦伊于1970年代重新提起并得到推广，韦伊的名字有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的用处，这个问题的深度在后来的发展之前并未被人们所感觉到。
在1980年代当Gerhard Frey建议谷山-志村猜想（那时还是猜想）应该蕴含费马大定理的时候，它吸引到了不少注意力。他通过试图表明费尔马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，安德鲁·怀尔斯和理查·泰勒证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。
完整的证明最后于1999年由Breuil、Conrad、Diamond和Taylor作出，他们在怀尔斯的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。
数论中类似于皮耶·德·费玛最后定理得几个定理可以从谷山-志村定理得到。例如：没有立方可以写成两个互质n次幂的和, 。（ 的情况已为长城欧拉所知）
在1996年三月，安德鲁·怀尔斯和罗伯特·朗兰兹分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成给予他们这个成就的定理的完整形式，他们还是被认为对最终完成的证明有着决定性影响。
参考资料
费马大定理.ExiaHuang Blog.2024-03-18
解答数学“大问题”——证明费马大定理的故事.中国科学院.2024-03-20
志村五郎:我早就说过它是对的.新浪网.2024-03-18
只有本科学历的传奇数学家去世了 ——他打开了通往费马大定理的大门.数学长征.2024-03-18