曳物线是指被曳拉物体受垂直于初始静止状态时绳线方向的牵引力作用下的运动轨迹。又称“追迹曲线”、“犬线”。用长度为 a 的细绳，一端系一物体 p ，另一端 q 自点 O 出发，沿着过点 O 的一条直线 l 分别向两个方向运动，则点 p 的轨迹称为曳物线。

基本简介

曳物线是研究物理现象中常见的一种曲线。

用长度为 a 的细线牵引一个质点 M，使细线另一端 P 沿不过质点点定直线移动，这时质点 M 点运动轨迹。定直线是曳物线的每一条切线与定直线的交点到切点到距离恒为 a。

取定直线为 x 轴，并假设开始时，质点位于点 A(0,a) 处，细线位于 y 轴上。则此曳物线的参数方程为

直角坐标方程为

即

它有一个尖点 A(0,a)，AM 的弧长为 ，曲率半径 。

图示

如下图所示：

从曲线 C 上某一动点 P 的切线与某一定直线 l的交点 Q 到点 P 的线段长恒为定值，则称曲线 C 为 曳物线(tractrix)。直线 l 为其渐近线。

曲线方程

参数方程

当渐近线轴时，若点p的初始位置为，则曳物线的参数方程为：

；

。

参数θ是切线pq和x轴的夹角。

渐屈线的普通方程。

a为切点到切线与渐近线交点的距离。

微分方程

设被拖曳直线长度为L，拖曳直线拖曳点始终在y轴上;

初始状态：拖曳点(0,0)，另一端点(1,0)；

拖曳方向：y轴正方向。

解：因在拖曳的某一个时刻，拖曳直线的方向和直线另一端点轨迹（拖曳线）的切线方向相同，设该时刻为t，可得微分方程：

；为某一个时刻拖曳点的y轴坐标。

因为直线长度不变，还有方程：

，

带入微分方程得到：

；初始状态值

解得曳物线方程：

。

旋转面的性质

由曳物线绕其渐近线旋转而形成的回转曲面叫做伪球面。

这种曲面的全曲率在每一点都是常数且是负的。位于此曲面上的直线与平行公设不一致。因而构造这种曲面的可能性为非欧几何学提供了相对相容性的证明。