纤维丛是1946年提出的数理科学理论，是拓扑学与微分几何相结合的产物，是研究空间整体性质与局域性质间关系的最有效的工具，同时它也是研究近代物理学的强有力的武器，不仅为Yang-Mills（杨一米尔斯）规范理论和相对论提供了数学框架，而且也是描述Hamilton（哈密尔顿）力学和Maxwell电磁理论的合适的数学手段。
简介
纤维丛为坐标丛的等价类，或者说，纤维丛是拥有极大丛图册的坐标丛。
理论介绍
每个纤维丛是一个连续满射：，使得E对于某个F （称为纤维）局部看来象直积空间（这里局部表示在B上局部） ，一个可以整体上如此表达的丛（通过一个保持的同胚）叫做平凡丛。丛的理论建立在如何用一些比这个直接的定义更简单的方法表达丛不是平凡丛的意义的问题之上。
纤维丛扩展了向量丛，矢量丛的重要实例就是流形的切丛和余切丛。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用，也是规范场论的基本概念。
概念发展
纤维丛是拓扑乘积的推广，产生于微分几何研究，系统研究始于20世纪30年代。1936年瑞士数学家施蒂费尔考虑以微分流形的每一点为原点的有限个线性独立向量场，引入流形的微分同胚不变量。
1937年美国数学家惠特尼把流形及以其上每一点为原点的线性独立的切向量组全体总括在一起而得到纤维丛的概念。他还证明了微分流形的嵌入定理，正式创立微分拓扑。
1946年陈省身认识到E.嘉当的联络的几何学思想与纤维丛理论有密切关系，从而把微分几何推进到大范围的情形。
20世纪50年代初，法国数学家塞尔在É.嘉当的指导下，在代数拓扑学方面做出重要贡献。他发展了纤维丛概念，得出一般纤维空间概念。1951年美国数学家斯廷罗德出版《纤维丛的拓扑》一书，系统总结了纤维丛理论。纤维丛的截面的存在性问题与阻碍理论有关，由此得到底空间的某些上同调类，称之为示性类。施蒂费尔、哈斯勒·惠特尼、陈省身和原苏联数学家列夫·庞特里亚金、中国数学家吴文俊都在示性类研究中做出重要贡献。近几十年来纤维丛理论在示性类、纤维丛上的同调与同伦等方面继续获得发展，并在微分几何学、代数几何学、复变函数与复流形理论以及大范围分析学等方面有广泛而深刻的应用，还成为物理学中表达规范场的合适的数学语言。
形式化定义
一个纤维丛由四元组（ ）组成，其中E、B、F是拓扑空间而是一个 连续满射，满足下面给出的局部平凡条件。B称为丛的基空间，E称为总空间，而F称为纤维，映射 称为投影映射。下面我们假定基空间B是连通的。
我们要求对于B中的每个x，存在一个x的开邻域U，使得是同胚于积空间的，并满足π 转过去就变成到第一个因子的投影。也就是一下的图可交换：
其中Proj1 :是自然投影而φ： 是一个同胚。所有的集合称为丛的局部平凡化。
对于B中每个x，原象 和F同胚并称为x上的纤维。一个纤维丛（ ）经常记为以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纤维从都是一个开映射，因为积空间的投影是开映射。所以B 有由映射 决定的商拓扑。
一个光滑纤维丛是一个在微分流形的范畴内的纤维丛。也就是说，E、B、F都必须是光滑流形而所有上面用到的函数都必须是光滑映射，这是纤维丛研究和使用的通常环境。
光滑纤维丛
一个光滑纤维丛是一个在光滑流形范畴内的纤维丛。也就是说，E、B、F都必须是光滑流形而所有上面用到的连续映射都必须是光滑映射，这是纤维丛研究和使用的通常环境。
例子
令 并令：为对第一个因子的投影，则E是B上的丛。这里E不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛。
相应的平凡丛看起来像一个圆柱，但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样（在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间）。
一个类似的非平凡丛是克莱因瓶，它可以看作是一个"扭转"的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环面，即。
一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛，纤维丛的一个特例，叫做向量丛，是那些纤维为矢量空间的丛（要成为一个矢量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个线性群），矢量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。
截面
纤维丛的截面 （section ）是一个连续映射 : 使得 对于所有B中的x成立。因为丛通常没有全局有定义的截面，理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数拓扑的特征类理论。
纤维丛的局部截面是一个连续映射，截面经常只被局部的定义（特别是当全局截面不存在时）。
纤维丛的局部截面是一个连续映射 : 其中 U 是一个B中的开集而 对所有U中的x成立。若是一个局部平凡化图，则局部截面在 U上总是存在的。这种截面和连续映射有一一对应。截面的集合组成一个层（sheaf）。
结构群和转移函数
纤维丛经常有一个对称群描述重叠的图之间的相容条件。
特别的，令G为一个拓扑群，它连续的从左边作用在纤维空间F上。不失一般性的，我们可以要求G有效的作用在F上，以便把它看成是F的同胚群。
纤维丛的一个G-图册（E, B, π, F）是之前定义过的局部平凡化并且满足：对任何两个重叠的局部平凡化中的元素也就是图（Ui, φi）和（Uj, φj）且 {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }，则函数{\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:(U_{i}\cap U_{j})\times F\to (U_{i}\cap U_{j})\times F}是由以下方式给出：{\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\xi )=(x,t_{ij}(x)\xi ),\quad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},\xi \in F}其中 {\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G} 是一个称为转移函数（transition 函数）的连续映射。两个G-图册是等价的如果他们的联集也是G-图册。
一个G-丛是有G-图册等价类的纤维丛。群G称为该丛的结构群（structure group）。在光滑范畴中，一个G-丛是一个光滑纤维丛，其中G是一个李群而相应的在F上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。转移函数tij满足以下条件{\displaystyle t_{ii}(x)=1}{\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}}{\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)}第三个条件用到三个相交的 {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}上叫做上链条件（cocycle condition，见Čech上同调）。
一个主丛是一个G-丛，其纤维可以认为是G本身，并且有一个在全空间上的G的右作用保持纤维不变。
参考资料
规范场与纤维丛：它的内容，方法和意义.物理学进展周刊.2024-08-02
纤维丛：万物之理.自然杂志.2024-08-02
纤维丛.科普中国.2024-08-02