高斯引理是多项式理论和数论中的重要命题。在多项式理论中，高斯引理表明任意两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。在数论中，高斯引理给出了一个整数是模另一个整数的二次剩余的条件。高斯引理在二次互反律的证明中具有理论上的重要性，最早出现在高斯1808年发表的二次互反律的第三个证明中，并在第五个证明中再次使用。
基本介绍
高斯引理在多项式理论中指出，任一非零的整系数多项式如果能够分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，则它一定能够分解为两个次数较低的整系数多项式的乘积。这一性质在研究有理系数多项式的因式分解与有理根中起着重要的作用。高斯（Gauss, C. F.）引入了本原多项式的概念，并且给出了这个引理。
在数论中，高斯引理描述了一个与奇质数互质的整数是否为该质数的二次剩余的条件。它通过考虑特定的整数序列模质数的最小非负剩余，并统计其中有多少个数大于质数的一半，来确定原整数是否为二次剩余。
引理
两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
证明
设，是两个本原多项式，而 是它们的乘积。我们用反证法。如果 不是本原的，也就是说，的系数 有一异于 的公因子，那么就有一个素数 能整除 的每一个系数。因为 是本原的，所以不能同时整除 的每一个系数。令 是第一个不能被 整除的系数，同样地，也是本原的，令 是第一个不能被 整除的系数。我们来看 的系数 ,由乘积定义。由上面的假设，整除等式左端的，整除右端 以外的每一项，但是 不能整除 这是不可能的。这就证明了，一定也是本原多项式。
例子
例： ，
均是本原多项式，其乘积 还是本原多项式。