弧长

弧长（arc length），是曲线的刚体运动不变量。在研究曲线时，用弧长作参数，可大大简化公式，并较容易导出其他不变量。

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是2πR/360，即πR/180。于是n°的圆心角所对的弧长为。

基本概念

在研究曲线时，我们总引进弧长作为参数，一方面是由于曲线的一般参数 t 不具有任何几何意义，另一方面，因为弧长是曲线的刚体运动不变量，用弧长作参数，可大大简化公式，并较容易导出其他不变量。

设为连续曲线(如图1)。它的端点分别为A，B，在A，B之间任取n-1个点：。为方便计，把A写成，把B写成。它们将分成n段。设各点对应的参数依次为。用直线段连结相邻的点，得到一折线形，它的长：当分点无限增加时，若σ趋于一个与分点的选择无关的确定极限，则称此极限为曲线段AB的弧长。

曲线有长度的充要条件是其坐标函数为有界变差函数。特别，微分几何中考虑的类曲线都有长度。曲线Γ在之间的长度可用公式：表示。弧长称为曲线的自然参数。

在取自然参数时，曲线的方程：此时，有 (表示对弧长s的导矢)，反之，若，则t可视为曲线从某点量起的弧长参数。

下面我们用导数元素法计算曲线的长度。

设平面曲线C的参数表示为：

其中与连续可导，且，这样的称为光滑曲线。

显然这时曲线的长度L对于区间可加．且对任意的与小区间相应的弧长

故由导数元素法可知曲线总长为

同样，对于空间光滑曲线曲线总长为若平面光滑曲线C被表达成了直角坐标形式

则C也有参数表示

故由公式(1)可知这时

例1 证明：圆的周长是。

证明: 由对称性可知所求周长是第一象限部分长度的4倍，在第一象限中圆的参数方程是

故由公式(1)得圆的周长

半径为R的圆中，的圆心角所对弧长的计算公式为。

圆的弧长与角度（弧度）成正比。设圆的半径为r，那么弧度α对应的圆弧的弧长是rα；角度θ对应的圆弧的弧长是rπθ/180。整个圆周的周长是：C=2πr。

弧长.知网空间.2024-01-11