角平分线定理 （英文：Angle bisector theorem），是欧几里得学基本定理之一。角平分线定理有两个：1. 角平分线上的点到角的两边线段距离相等。2. 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。它们可以利用平面几何中其他的知识进行证明，如全等三角形、正弦定理。与定理2相似的定理是中线定理，它也描述了三角形中边的比例关系。
角平分线定理最早的记录可以追溯到古希腊时期，古希腊的欧几里得在其著《几何原本》中提出了角平分线的定义和性质，证明了角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线定理定理为几何学、三角学的重要数学工具之一，可以帮助求解平面向量、解析几何等问题。
定理内容
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。角平分线具有两个基本定理。
定理1：角平分线上的点到角的两边线段距离相等。
逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图，中，是角平分线，则。
逆定理：如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
推导证明
定理1逆定理证明
证明如下：
如图，，
。
在和中
已知
公共边
（全等三角形对应角相等）。
定理2逆定理证明
有三种方法相似法、面积法、正弦定理法分别如下：
面积法
如上图，。
，
，故原命题得证。
相似法：
作的外接圆，延长 交于点，连接如下图
因为，，
所以。
所以 。
因为
所以。
因为
所以。
所以
所以。
即。
正弦定理法：
作三角形的外接圆。交圆于。
由正弦定理得:
，
，
，
所以。
相关定理
中线定理
中线定理：是一种数学原理，三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。如图，设的边的中点为，则有。
正弦定理
正弦定理：是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即（为外接圆半径，为直径）。
应用
在解三角形中的应用
通过三角形的相关几何性质以及对应的角平分线等条件，借助三角形的角平分线定理来构建对应边长之间的关系式，并综合解三角形中的正弦(或余弦)定理等来转化，利用函数或方程、不等式、三角函数等知识来综合与应用。
例如，在中，所对的边分别是其中 ， ，，若的角平分线交于点，则___。
证明 ：如图1，，，可得
由结合正弦定理可得。利用定理2，可得。
又，所以在，由余弦定理，可得，即 ，解得
。于是，。
在，由余弦定理，可得即，解得或。在，由正弦定理，可得，
解得，根据三角形中大角对大边的性质，知，所以。
故填答案：。
在平面向量中的应用
通过平面向量中的“数”来转化“形”的特征问题，或数形结合，借助“形”的几何特征利用三角形的角平分线定理来构建对应的关系式;或借助“数”的代数属性利用三角形的角平分线定理的逆向思维等来确定几何图形的结构特征等，这些都是平面向量问题中比较常用的技巧方法与综合应用。
例如，已知平面向量满足。当
___。
证明:由题意。
设直线与直线交于点，由，知点在线段上(不含端点)。又，结合“等和线”性质，可知，即。又，由定理2的逆定理，知是的角平分线，即。
在等 腰 三 角 形 中，根 据 余 弦 定 理，可 得，则。在中，利用 余 弦 定 理，可 得 。所以。
故填答案：。
在平面解析几何中的应用
通过平面解析几何中涉及角平分线的题设条件的直接应用或角平分线性质的内涵挖掘，借助三角形的角平分线定理确定并构建相应线段的比例关系，为进一步利用圆锥曲线的定义，性质与方程来解决问题提供条件，并综合函数与方程、三角函数、不等式以及平面向量等相关知识来合理转化与巧妙应用。
例如，直线过双曲线:的右焦点，与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为原点，且，，则双曲线Ｃ 的离心率为___。
证明:如图3，由，知，。
在 中，。利用定理2与三角函数的定义，可得。结合三角函数的公式，可得，解得。所以双曲线的离心率。
故填答案：。
相关文化
《几何原本》是古希腊著名数学家欧几里得的作品，在这本书中欧几里得集中阐述自己的几何思想。《几何原本》共13卷，每卷(或几卷一起)都以定义开头。第一卷首先给出23个定义，如“点是没有面积的”“线只有长度没有宽度”等。同时也给出平面、直角、锐角、钝角、平行线等定义，然后则是5个假设。作者先做出如下假设:(1)从某一点向另一点作直线，(2)将一条线无限延长，(3)以任意中心和半径作圆，(4)所有的直角都相等，(5)若一直线与两直线相交，使同旁内角小于两直角，则两直线若延长，一定在小于两直角的两内角的一侧相交(此后的许多学者都试着证明这一假设，却没能成功，这引发了非欧几何学的创立)。5个假设之后是5条公理，它们共同构成了《几何原本》的基础。欧几里得的《几何原本》也是最早记录角平分线定理相关内容的书籍，在书中他不仅提出了角平分线的定义和性质，还证明了角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等。
参考资料
术语在线.术语在线.2023-12-18