正则变换(正则变换)

正则变换,是由一组正则变量到另一组能保持正则形式不变的变量的变换。

正则变换

设某系统存在着一组广义坐标和广义动量，而变量变换式为：

式中t为时间。如果变换式(1)满足

而且使系统原来的正则方程

，

变换到以K为哈密顿函数的另一组正则方程

，　 (2)

则式(1)称为正则变换。式(2)中的是新哈密顿函数。

根据正则方程与广义哈密顿原理的等价性，上述要求也可表述为：

(3)

如果上式同时成立，其被积函数应满足

(4)

式中F称为正则变换的“母函数”。由于4N个新老正则变量之间有2N个变换关系式相联系，可在其中选出2N个变量作为独立变量。假定某类正则变换可以选择(q,Q)这2N个变量作为独立变量，则F可表达为(q,Q,t)的函数，并记为。于是有：

(5)

而

将上式代入(5)中，比较系数得：

，　　(6)

式中F1称为“第一类的母函数”，可以按要求适当选定。选定后，可自式(6)的第一式解出Q,再自第二式算出P，K可由式(6)的末一式求得。这样求得的Q，P,K一定适合正则方程：

。

在4N个新老正则变量中，如果对2N个独立变量的取法不同，则母函数的形式也不同。常用的母函数有。它们之间的关系可写为：施行正则变换的目的是将正则方程变换成较易求解的方程。如选择正则变换，使变换后的新哈密顿函数，则这种变换后的新广义坐标全部成为可遗坐标。由式(2)得：

，

故，式中分别为积分常数。

假定上述正则变换的母函数为根据式(6)的末一式，应该有：

。　　　　(7)

将写成,再把式(6)中的第一式代入式(7)中便得到：这就是著名的哈密顿－雅可比方程，通过它的全积分可以找到满足上述要求的正则变换。

正则变换的研究在天体力学中有广泛的应用。