可测函数（英语：measurable 函数）是保持可测空间结构的函数，也是勒贝格积分中主要讨论的函数。数学分析中所研究的不可测函数一般视为病态的。在概率论中，随机变量就是实可测函数的一个例子。

名词解释

设是定义在可测集E上的实函数。如果对每一个实数，集恒可测（亨利·勒贝格可测），则称是定义在 E上的（勒贝格）可测函数

定理　设是定义在可测集E上的实函数，下列任一个条件都是在Ｅ上（勒贝格）

可测的充要条件：

（1）对任何有限实数a，都可测；

（2）对任何有限实数a，都可测；

（3）对任何有限实数a，都可测；

（4）对任何有限实数a,b，都可测

正式定义

可测函数的定义 — 设 \( (X,\Sigma_{X}) \) 与 \( (Y,\Sigma_{Y}) \) 为可测空间。那么函数 \( f:X\to Y \) 对任意 \( B\in \Sigma_{Y} \) 若满足：

\( f^{-1}(B)\in \sigma_{X} \)

则称 \( f \) 为一个 \( \Sigma_{X} \)-\( \Sigma_{Y} \) 可测函数。

重要范例

实可测函数

取本节定义中的 \( Y \) 为实数系 \( \mathbb{R} \)，然后取：

\( {\mathcal{I}}=\{A\in {\mathcal{P}}(\mathbb{R}) | (\exists a)(\exists b)[(a,b\in \mathbb{R}) \wedge (A=(a,b))]\} \)

\( {\mathcal{B}}_{\mathbb{R}}:=\sigma({\mathcal{I}})=\bigcap \{\Sigma | (\Sigma \文本{ is a sigma algebra.}) \wedge ({\mathcal{I}}\subseteq \Sigma)\} \)

换句话说，\( {\mathcal{B}}_{\mathbb{R}} \) 是由实数开区间所生成的博雷尔代数（注意到 \( {\mathcal{I}} \) 本身是个拓扑基），那么这样的 \( \Sigma_{X} \)-\( {\mathcal{B}}_{\mathbb{R}} \) 可测函数 \( f \)，通常会简称为 \( \Sigma_{X} \)-实可测函数；甚至简称为实可测函数。

博雷尔函数

如果 \( (X,\tau_{X}) \) 与 \( (Y,\tau_{Y}) \) 正好也是拓扑空间，这时取以下两个最小σ-代数：

\( \sigma(\tau_{X})=\bigcap \{\Sigma | (\Sigma \文本{ is a sigma algebra.}) \wedge (\tau_{X}\subseteq \Sigma)\} \)

\( \sigma(\tau_{Y})=\bigcap \{\Sigma | (\Sigma \text{ is a sigma algebra.}) \wedge (\tau_{Y}\subseteq \Sigma)\} \)

换句话说，\( \sigma(\tau_{X}) \) 是由 \( X \) 上开集所生成的埃米尔·博雷尔代数；\( \sigma(\tau_{Y}) \) 是由 \( Y \) 上开集所生成的博雷尔代数，那这样 \( \sigma(\tau_{X}) \)-\( \sigma(\tau_{X}) \) 可测函数 \( f \) 又称为 \( \tau_{X} \)-\( \tau_{Y} \) 博雷尔函数（Borel 函数）。

勒贝格可测函数

勒贝格可测函数是一个实函数\( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)，使得对于每一个实数\( a \)，集合

\( \{x\in \mathbb{R} :f(x)>a\} \)

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是\( f \)是可测的当且仅当\( \min\{-g,f,g\} \)对于所有非负的勒贝格可积函数\( g \)都是可积的。

不可测函数

不是所有的函数都是可测的。例如，如果\( A \)是实数轴\( \mathbb{R} \)的一个不可测子集，那么它的指示函数\( 1_{A}(x) \)是不可测的。